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以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。
焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c?=a?+b?。
准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。
离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。
离心率
双曲线有两个焦点，两条准线。(注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线,但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。)
顶点
双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
实轴
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。
虚轴
在标准方程中令x=0,得y?=-b?，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.
渐近线
双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：
,将1替换为0,得,则双曲线的渐近线为
一般地我们把直线
叫做双曲线(焦点在X轴上)的渐近线(asymptote to the hyperbola )
焦点在y轴上的双曲线的渐近线为
顶点连线斜率
双曲线 y
上一点与两顶点连线的斜率之积为。
实际应用
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双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。
面积公式
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若 ∠F1PF2=θ，
则 S△F1PF2=b2×cot
或S△F1PF2=
·例：已知F1、F2为双曲线C：x2－y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多
少？
解：由双曲线焦点三角形面积公式得:
S△F1PF2=b2×cot(
)=
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