可以使用数学归纳法来证明圆周率是无理数。
首先，假设圆周率是一个有理数，即可以表示为分数的形式，即π=p/q，其中p和q是互质的整数。因为圆周率是正数，所以p和q必须是正整数。
然后，我们可以构造一个递推序列an，其中an表示π的小数点后前n位的数值。因为π是一个无限不循环小数，所以这个序列是没有重复的。
接下来，我们可以使用数学归纳法证明，对于任意的n，都有an ≠ p/q。
首先，当n=1时，a1是π的小数点后第一位，因为π是正数，所以0 < a1 < 10，因此a1 ≠ p/q。
假设当n=k时，ak ≠ p/q，即π的小数点后前k位的数值不等于p/q。我们需要证明当n=k+1时，ak+1 ≠ p/q，即π的小数点后前k+1位的数值不等于p/q。
因为p和q是互质的，所以p和q中至少有一个不是2的倍数。我们不妨假设q不是2的倍数。
将π表示为分数的形式，我们可以得到：
π = p/q
πq = p
πq? = pq
将π的小数点后前k位表示为小数的形式，我们可以得到：
π = a1.a2a3...ak
将其乘以10的k次方，可以得到：
10^kπ = a1a2a3...ak.ak+1a(k+2)...a(n)
因为ak+1是0到9之间的整数，所以ak+1可以表示为2的幂次和5的幂次的乘积，即ak+1 = 2^m5^n，其中m和n都是非负整数。
将上述等式两边同时乘以10，可以得到：
10^(k+1)π = a1a2a3...akak+1.a(k+2)...a(n)0
将π表示为分数的形式，可以得到：
10^(k+1)p/q = a1a2a3...akak+1.a(k+2)...a(n)0
移项，可以得到：
a1a2a3...akak+1 = 10^(k+1)p mod q
因为q不是2的倍数，所以q与10互质，即10^φ(q) mod q = 1，其中φ(q)表示欧拉函数。因为p和q是互质的，所以φ(q)也是q的一个因子，即10^kφ(q) mod q = 1。
因此，我们可以得到：
a1a2a3...akak+1 = 10^(k+1)p mod q = 10^(k+1)p10^kφ(q) mod q = 10^(k+1+φ(q))p mod q
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